Проецирование точки на три плоскости проекций. Проецирование на три плоскости Проецирование на 3 плоскости проекций

Точка в системе двух плоскостей проекций.

Для получения проекций точки в системе двух плоскостей проекций необходимо из данной точки опустить перпендикуляры на соответствующие плоскости проекций, основания этих перпендикуляров и будут являться проекциями точки на соответствующих плоскостях проекций.

Рис 7. Проекции точки в системе двух плоскостей проекций.

Точка A’ – проекция на плоскость π 1 – называется горизонтальной проекцией точки A. Точка A’’ – проекция точки A на плоскость π 2 – фронтальная проекция точки A. Аналогично может быть построена проекция точка A на профильную плоскость проекций (π 3 ), получим профильную проекцию точки A – A’’’.

Отрезки AA’ и AA’’ перпендикулярны плоскостям проекция π 1 и π 2 соответственно принадлежат некоторой плоскости α пересекающей ось проекций в некоторой точке Ax . Плоскость α перпендикулярна к плоскостям проекций π 1 и π 2 и к оси проекций X, пересекая еѐ в точке Ax .

Если положение плоскостей π 1 и π 2 фиксировано в пространстве, то каждой точке пространства соответствует упорядоченная пара точек на плоскостях проекций. Верно и обратное утверждение – упорядоченное паре точек на плоскостях проекций соответствует единственная точка пространства.

Проецирование на две и три плоскости проекций

Эпюр Монжа.

Рассмотренное изображение точки в системе двух плоскостей проекций не совсем удобно для черчения.

С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобство изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого Гаспара Монжа, изданном в 1799 г. под названием « Geometrie descriptive».

Как уже отмечалось ранее отрезки AA’ и AA’’ перпендикулярны плоскостям проекция π 1 и π 2 соответственно принадлежат некоторой плоскости α пересекающей ось проекций в некоторой точке Ax . Плоскость α перпендикулярна к плоскостям проекций π 1 и π 2 и к оси проекций X, пересекая еѐ в точке Ax .

Плоскость α пересекает плоскости проекций π 1 и π 2 (отрезки A’Ax и A’’Ax ). Отрезки A’Ax и A’’Ax перпендикулярны оси проекций X. Проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке (в нашем примере в точке

Гаспрар Монж предложил способ преобразования чертежа путем поворота горизонтальной плоскости проекций π 1 вокруг оси проекций X до совмещения с фронтальной плоскостью проекций π 2 (рис. 9.).

Проецирование на две и три плоскости проекций

Рис. 10. Преобразование чертежа по методу Монжа.

После такого преобразования плоскость π 1 на чертеже совмещается с плоскостью π 2 и в результате получаем чертеж в виде наложенных друг на друга плоскостей π 1 и π 2 . Такой способ изображения получил название «Эпюр Монжа» (от французского Épure – чертеж, проект).

Рис. 11. Положение проекций точки на эпюре Монжа.

При рассмотрении преобразованного чертежа необходимо учитывать, что плоскости проекций π 1 и π 2 занимают все пространство, и мы видим наложение двух плоскостей.

На эпюре Монжа проекции точки A - A’ и A’’на плоскостях проекций π 1 и π 2 расположены на одной прямой перпендикулярной к оси проекций X. Отрезок

A’A’’ называется линией связи . Таким образом, две проекции точки всегда расположены на одной линии связи перпендикулярной к оси проекций .

Если внимательно проанализировать исходный рисунок положения точки в системе двух плоскостей проекций и эпюр Монжа, то можно видеть, что величина отрезка Ax A’= AA’’ и определяет расстояние точки A от плоскости проекций π 2 , а величина отрезка Ax A’’= AA’ - определяет расстояние точки A от плоскости π 1 .

Проецирование на две и три плоскости проекций

Две взаимно перпендикулярные плоскости π 1 и π 2 делят все пространство на четыре квадранта (вспомним то, как две перпендикулярные оси X и Y на плоскости делят эту плоскость на четыре четверти).

Рис. 12. Деление пространства двумя плоскостями на 4 квадранта.

В зависимости от того, в каком квадранте пространства расположена точка еѐ проекции занимают определенное положение на эпюре Монжа.






					E’=Ex

Рис. 13. Положение точек на эпюре Монжа.

По эпюру Монжа можно определить, что точки занимают следующие положения в пространстве:

Точка А расположена в первом квадранте; Точка B расположена во втором квадранте; Точка C расположена в третьем квадранте; Точка D расположена в четвертом квадранте;

Точка E расположена непосредственно в плоскости π 2 .

Проецирование на две и три плоскости проекций

Точка в ситеме трех плоскостей проекций.

На ряду с проецирование на две плоскости проекций используется система трех плоскостей. Положение любой точки в пространстве, а следовательно и любой геометрической фигуры может быть определено в какой либо системе координат.

Наиболее удобной является декартова система координат в пространстве, состоящая из трех взаимно перпендикулярных осей. Эту систему можно получить как линии пересечения трех взаимно перпендикулярных плоскостей – горизонтальной π 1 , фронтальной π 2 и профильной π 3 .

Линии пересечения этих трех плоскостей образуют в пространстве систему трех взаимноперпендикулярных осей: абсцисс – ось X, ординат – ось Y и аппликат – ось Z. Точка пересечения трех осей – точка «O» от латинского «origo» - начало, является началом отсчета по всем осям координат (рис. 14), стрелками показано положительное направление значений координат. Оси X,Y и Z называются осями прекций.

A’’ Az

A A’’’

Рис. 14. Положение точки в системе трех плоскостей проекций.

Величина отрезка AA’ = A’’Ax – расстояние от точки A до плоскости π 1 . Величина отрезка AA’’ = A’Ax – расстояние от точки A до плоскости π 2 . Величина отрезка AA’’’ = A’Ay – расстояние от точки A до плоскости π 3 .

Проецирование на две и три плоскости проекций

Три пересекающиеся плоскости делят все пространство на восемь октантов.











Рис. 15. Разбиение пространства на восемь октантов.

По знакам координат точки можно определить в каком октанте пространства она расположена.

	Знак координаты












Начертательная геометрия. Инженерная графика. Левченко С.В.		Страница 6

Проецирование на две и три плоскости проекций

Преобразование чертежа в системе трех плоскостей проекций.

Как и в случае проекции в системе двух плоскосте, в системе трех плоскостей используют метод преобразования чертежа, предложенный Гаспаром Монжем.

Это связано стем, что в подобном виде чертеж получается громоздким и на плоскостях π 1 и π 2 происходит искжение форм и размеров фигур.

Рис. 16. Преобразование плоскостей в системе трех плоскостей проекций.

На рисунке 16 стрелками показано направление вращения плоскостей вокруг осей проекций.

В процессе преобразования плоскость π 2 остается на месте, плоскость π 1 поварачивается вокруг оси X до совмещения с плоскость π 2 , плоскость π 3 поварачивается вокруг оси Z до совмежения с плоскостью π 2 . После такого преобразования все три плоскости оказываются наложенными друг на друга (рис.

Проецирование на две и три плоскости проекций

Рис. 17. Вид чертежа после преобразования.

В плоскости π 1 лежат оси X и Y. В плоскости π 2 лежат оси X и Z. В плоскости π 3 лежат оси Y и Z.

В π 1 ось X остается на месте, а ось Y на чертеже направлена вниз.

В результате преобразования плоскости π 3 ось Z остается на месте, а ось Y на чертеже направлена вправо.

Таким образом после преобразования чертежа ось Y занимает на чертеже два положения: ось Y направленная вниз принадлежит плоскости π 1 ; ось Y направленная влево принадлежит плоскости π 3 .

Положение проекций точки на чертеже зависит от того, в каком октанте пространства она расположена.

Проекции любой точки можно построить неросредственно на чертеже: положение горизонтальной проекции определяется парой координат X,Y (ось Y направленная вниз); положение фронтальной проекции определяется парой координат X,Z; положение профильной проекции определяется парой координат Y,Z (ось Y направленная вправо).

Если точка расположена в первом октанте, то значения всех трех координат (X,Y,Z) положительны.

Проецирование на две и три плоскости проекций

Построение недостающей проекции в системе трех плоскостей проекций:

Рис. 18. Порядок построения недостающей проекции точки.

Пусть даны горизонтальная (A’) и фронтальная (A’’) проекции точки A.

Необходимо построить недостающую профильную проекцию (A’’’). При построении выполнении построений необходимо помнить следующие правила начертательной геометрии:

1. Горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда находятся на одной линии связи перпендикулярной к оси X.

2. Фронтальная и профильная проекции точки всегда находятся на одной линии связи, перпендикулярной к оси Z.

3. Горизонтальная и профильная проекции точки всегда находятся на одной горизонтально-вертикальной линии связи перпендикулярной оси Y.

Порядок построения:

Проецирование на две и три плоскости проекций

Проведем через точку A’’ линию перпендикулярную к оси Z. Искомая профильная проекция должна находиться на этой линии.

Для построения горизонтально-вертикальной линии связи перпендикулярной оси Y воспользуемся постоянной прямой чертежа.

О. Постоянной прямой чертежа называется биссектриса угла, образованного осями Y. Обычно обозначают буквой k .

Через горизонтальную проекцию точки проведем перпендикуляр к вертикальной оси Y до пересечения с постоянной прямой чертежа (точка 1), затем из точки 1 проведем перпендикуляр к вертикальной оси Y до пересечения с линией связи, перпендикулярной оси Z.

Точка пересечения линии связи перпендикулярной к оси Z и горизонтально-

вертикальной линии связи, перпендикулярной к оси Y и является профильной проекцией точки A.

Ещѐ раз отметим, что горизонтальная проекция точки определяется еѐ абсциссой и ординатой, фронтальная – абсциссой и аппликатой, профильная – ординатой и аппликатой.

Точка в пространстве удалена от плоскости:

π 1 на величину равную величине отрезка A’’Ax или A’’’Ay .

π 2 на величину равную величине отрезка A’Ax или A’’’Az .

π 3 на величину равную величине отрезка A’Ay или A’’Az .

Его можно рассматривать как частный случай центрального, при котором центр проецирования удален в бесконечность.

Применяют параллельные проецирующие прямые, проведенные в заданном направлении.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проецирование называют прямоугольным или ортогональным.

При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального, а так же возникают следующие свойства:

а). Проекции взаимно // прямых //, а отношение длин отрезков таких прямых равно отношению длин их проекций

б). Плоская фигура, // плоскости проекций проецируется на эту плоскость в натуральную величину

в). Если прямая перпендикулярна направлению проецирования, то её проекцией является точка

Если есть центр параллельной проекции, мы не сможем определить положение точки в пространстве.

Гаспар Монж предложил взять две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (горизонтальную П 1 и фронтальную П 2) и используя метод прямоугольного проецирования направить проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям.

П 1 – горизонтальная плоскость проекций

П 2 -фронтальная плоскость проекций

X- ось проекций- линия пересечения плоскостей П 1 и П 2 или П 1 /П 2

A x A 1 иA x A 2 – перпендикулярны осиX–линии связи

Если есть в пространстве точка А, то опускаем из неё перпендикуляр на П 1 (горизонтальная проекция точки А – А 1) и на плоскость П 2 (фронтальная проекция точки А – А 2)

Но данное наглядное изображение точки в системе П 1 /П 2 для целей черчения неудобно.

Преобразуем его так, чтобы горизонтальная плоскость проекций совпала с фронтальной, образуя одну плоскость чертежа.

Это преобразование осуществляется путем поворота вокруг оси Х плоскости П 1 на угол 90 о вниз. При этомA x A 2 и A x A 1 образуют один отрезок, расположенный на перпендикуляре к оси проекций Х, называемомлинией связи.

Получили чертеж под названием эпюр Монжа.

Горизонтальная и фронтальная проекции всегда лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси.

В зависимости от сложности для полного выявления форм деталей бывает необходимо три и более изображений. Поэтому вводят три и более плоскостей проекций.

Проецирование точки на три плоскости проекций. Комплексный чертеж точки.

Получили эпюр Монжа для трех плоскостей или комплексный чертеж точки А

H(П 1) - горизонтальная плоскость проекций

V(П 2) - фронтальная плоскость проекций

W(П 3) - профильная плоскость проекций

А 1 - горизонтальная проекция точки А

А 2 - фронтальная проекция точки А

А 3 - профильная проекция точки А

П 1 и П 2 -образуют ось Х

П 2 и П 3 -образуют осьZ

П 1 и П 3 -образуют ось У

Две проекции точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси.

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций – координаты точки (X А, У А , Z А ). Задаются числами.

ОА х - абсцисса точки А–координата Х А - расстояние от А до П 3 . ОА х =А 1 А у = А z А 2

ОА у - ордината точки А–координата У А - расстояние от А до П 2 . . ОА у =А х А 1

ОА z - аппликата точки А–координатаZ А - расстояние от А до П 1 . ОА z =А х А 2

Вопросы для самопроверки

Какие есть методы проецирования?

Какие свойства центрального проецирования?

Какие свойства параллельного проецирования?

Как получить проекции точки на две плоскости проекции?

Как получить проекции точки на три плоскости проекции?

Рассмотрим профильную плоскость проекций. Проекции на две перпендикулярные плоскости обычно определяют положение фигуры и дают возможность узнать ее настоящие размеры и форму. Но бывают случаи, когда двух проекций оказывается недостаточно. Тогда применяют построение третьей проекции.

Третью плоскость проекции проводят так, чтобы она была перпендикулярна одновременно обеим плоскостям проекций (рис. 15). Третью плоскость принято называть профильной .

В таких построениях общую прямую горизонтальной и фронтальной плоскостей называют осью х , общую прямую горизонтальной и профильной плоскостей – осью у , а общую прямую фронтальной и профильной плоскостей – осью z . Точка О , которая принадлежит всем трем плоскостям, называется точкой начала координат.

На рисунке 15а показана точка А и три ее проекции. Проекцию на профильную плоскость (а́́ ) называют профильной проекцией и обозначают а́́ .

Для получения эпюра точки А, которая состоит из трех проекций а, а а , необходимо разрезать трехгранник, образующийся всеми плоскостями, вдоль оси у (рис. 15б) и совместить все эти плоскости с плоскостью фронтальной проекции. Горизонтальную плоскость необходимо вращать около оси х , а профильную плоскость – около оси z в направлении, указанном на рисунке 15 стрелкой.

На рисунке 16 изображено положение проекций а, а́ и а́́ точки А , полученное в результате совмещения всех трех плоскостей с плоскостью чертежа.

В результате разреза ось у встречается на эпюре в двух различных местах. На горизонтальной плоскости (рис. 16) она принимает вертикальное положение (перпендикулярно оси х ), а на профильной плоскости – горизонтальное (перпендикулярно оси z ).

На рисунке 16 три проекции а, а́ и а́́ точки А имеют на эпюре строго определенное положение и подчинены однозначным условиям:

а и а́ всегда должны располагаться на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси х ;

а́ и а́́ всегда должны располагаться на одной горизонтальной прямой, перпендикулярной оси z ;

3) при проведении через горизонтальную проекцию а горизонтальной прямой, а через профильную проекцию а́́ – вертикальной прямой построенные прямые обязательно пересекутся на биссектрисе угла между осями проекций, так как фигура Оа у а 0 а н – квадрат.

При выполнении построения трех проекций точки нужно проверять выполняемость всех трех условий для каждой точки.

Координаты точки

Положение точки в пространстве может быть определено с помощью трех чисел, называемых ее координатами . Каждой координате соответствует расстояние точки от какой-нибудь плоскости проекций.

Расстояние определяемой точки А до профильной плоскости является координатой х , при этом х = а˝А (рис. 15), расстояние до фронтальной плоскости – координатой у, причем у = а́А , а расстояние до горизонтальной плоскости – координатой z , при этом z = aA .

На рисунке 15 точка А занимает ширину прямоугольного параллелепипеда, и измерения этого параллелепипеда соответствуют координатам этой точки, т. е., каждая из координат представлена на рисунке 15 четыре раза, т. е.:

х = а˝А = Оа х = а у а = a z á;

y = а́А = Оа y = а x а = а z а˝;

z = aA = Oa z = а x а́ = а y а˝.

На эпюре (рис. 16) координаты х и z встречаются по три раза:

х = а z а ́= Оа x = а y а,

z = а x á = Oa z = а y а˝.

Все отрезки, которые соответствуют координате х (или z ), являются параллельными между собой. Координата у два раза представлена осью, расположенной вертикально:

y = Оа у = а х а

и два раза – расположенной горизонтально:

у = Оа у = а z а˝.

Данное различие появилось из-за того, что ось у присутствует на эпюре в двух различных положениях.

Следует учесть, что положение каждой проекции определяется на эпюре только двумя координатами, а именно:

1) горизонтальной – координатами х и у ,

2) фронтальной – координатами x и z ,

3) профильной – координатами у и z .

Используя координаты х, у и z , можно построить проекции точки на эпюре.

Если точка А задается координатами, их запись определяется так: А (х; у; z ).

При построении проекций точки А нужно проверять выполняемость следующих условий:

1) горизонтальная и фронтальная проекции а и а́ х х ;

2) фронтальная и профильная проекции а́ и а˝ должны располагаться на одном перпендикуляре к оси z , так как имеют общую координату z ;

3) горизонтальная проекция а так же удалена от оси х , как и профильная проекция а удалена от оси z , так как проекции а́ и а˝ имеют общую координату у .

В случае, если точка лежит в любой из плоскостей проекций, то одна из ее координат равна нулю.

Когда точка лежит на оси проекций, две ее координаты равны нулю.

Если точка лежит в начале координат, все три ее координаты равны нулю.

Проекции прямой

Для определения прямой необходимы две точки. Точку определяют две проекции на горизонтальную и фронтальную плоскости, т. е. прямая определяется с помощью проекций двух своих точек на горизонтальной и фронтальной плоскостях.

На рисунке 17 показаны проекции (а и á, b и b́ ) двух точек А и В. С их помощью определяется положение некоторой прямой АВ . При соединении одноименных проекций этих точек (т. е. а и b, а́ и b́ ) можно получить проекции аb и а́b́ прямой АВ.

На рисунке 18 показаны проекции обеих точек, а на рисунке 19 – проекции проходящей через них прямой линии.

Если проекции прямой определяются проекциями двух ее точек, то они обозначаются двумя рядом поставленными латинскими буквами, соответствующими обозначениям проекций точек, взятых на прямой: со штрихами для обозначения фронтальной проекции прямой или без штрихов – для горизонтальной проекции.

Если рассматривать не отдельные точки прямой, а ее проекции в целом, то данные проекции обозначаются цифрами.

Если некоторая точка С лежит на прямой АВ , ее проекции с и с́ находятся на одноименных проекциях прямой ab и а́b́ . Данную ситуацию поясняет рисунок 19.

Следы прямой

След прямой – это точка пересечения ее с некоторой плоскостью или поверхностью (рис. 20).

Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H , в которой прямая встречается с горизонтальной плоскостью, а фронтальным – точка V , в которой данная прямая встречается с фронтальной плоскостью (рис. 20).

На рисунке 21а изображен горизонтальный след прямой, а ее фронтальный след, – на рисунке 21б.

Иногда также рассматривается профильный след прямой, W – точка пересечения прямой с профильной плоскостью.

Горизонтальный след находится в горизонтальной плоскости, т. е. его горизонтальная проекция h совпадает с этим следом, а фронтальная h́ лежит на оси х. Фронтальный след лежит во фронтальной плоскости, поэтому его фронтальная проекция ν́ совпадает с ним же, а горизонтальная v лежит на оси х.

Итак, H = h , и V = ν́. Следовательно, для обозначения следов прямой можно применять буквы h и ν́.

Различные положения прямой

Прямую называют прямой общего положения , если она не параллельна и не перпендикулярна ни одной плоскости проекций. Проекции прямой общего положения тоже не параллельны и не перпендикулярны осям проекций.

Прямые, которые параллельны одной из плоскостей проекций (перпендикулярны одной из осей). На рисунке 22 показана прямая, которая параллельна горизонтальной плоскости (перпендикулярная оси z), – горизонтальная прямая; на рисунке 23 показана прямая, которая параллельна фронтальной плоскости (перпендикулярна оси у ), – фронтальная прямая; на рисунке 24 показана прямая, которая параллельна профильной плоскости (перпендикулярна оси х ), – профильная прямая. Несмотря на то что каждая из данных прямых образует с одной из осей прямой угол, они не пересекают ее, а только скрещиваются с нею.

Из-за того что горизонтальная прямая (рис. 22) параллельна горизонтальной плоскости, ее фронтальная и профильная проекции будут параллельны осям, определяющим горизонтальную плоскость, т. е. осям х и у . Поэтому проекции áb́ || х и a˝b˝ || у z . Горизонтальная проекция ab может занимать любое положение на эпюре.

У фронтальной прямой (рис. 23) проекции аb || x и a˝b˝ || z , т. е. они перпендикулярны оси у , а потому в этом случае фронтальная проекция а́b́ прямой может занимать произвольное положение.

У профильной прямой (рис. 24) аb || у, а́b || z , и обе они перпендикулярны оси х. Проекция а˝b˝ может располагаться на эпюре любым образом.

При рассмотрении той плоскости, которая проецирует горизонтальную прямую на фронтальную плоскость (рис. 22), можно заметить, что она проецирует эту прямую и на профильную плоскость, т. е. она является плоскостью, которая проецирует прямую сразу на две плоскости проекций – фронтальную и профильную. Исходя из этого ее называют дважды проецирующей плоскостью . Таким же образом для фронтальной прямой (рис. 23) дважды проецирующая плоскость проецирует ее на плоскости горизонтальной и профильной проекций, а для профильной (рис. 23) – на плоскости горизонтальной и фронтальной проекций.

Две проекции не могут определить прямую. Две проекции 1 и 1́ профильной прямой (рис. 25) без уточнения на них проекций двух точек этой прямой не определят положения данной прямой в пространстве.

В плоскости, которая перпендикулярна двум заданным плоскостям симметрии, возможно существование бесчисленного множество прямых, для которых данные на эпюре 1 и 1́ являются их проекциями.

Если точка находится на прямой, то ее проекции во всех случаях лежат на одноименных проекциях этой прямой. Обратное положение не всегда справедливо для профильной прямой. На ее проекциях можно произвольным образом указать проекции определенной точки и не быть уверенным в том, что эта точка лежит на данной прямой.

Во всех трех частных случаях (рис. 22, 23 и 24) положения прямой по отношению к плоскости проекций произвольный ее отрезок АВ , взятый на каждой из прямых, проецируется на одну из плоскостей проекций без искажения, т. е. на ту плоскость, которой он параллелен. Отрезок АВ горизонтальной прямой (рис. 22) дает проекцию в натуральную величину на горизонтальную плоскость (аb = АВ ); отрезок АВ фронтальной прямой (рис. 23) – в натуральную величину на плоскость фронтальной плоскости V (áb́ = AB ) и отрезок АВ профильной прямой (рис. 24) – в натуральную величину на профильную плоскость W (a˝b˝ = АВ), т. е. представляется возможным измерить на чертеже натуральную величину отрезка.

Иначе говоря, с помощью эпюр можно определить натуральные размеры углов, которые рассматриваемая прямая образует с плоскостями проекций.

Угол, который составляет прямая с горизонтальной плос костью Н , принято обозначать буквой α, с фронтальной плоскостью – буквой β, с профильной плоскостью – буквой γ.

Любая из рассматриваемых прямых не имеет следа на параллельной ей плоскости, т. е. горизонтальная прямая не имеет горизонтального следа (рис. 22), фронтальная прямая не имеет фронтального следа (рис. 23), а профильная прямая – профильного следа (рис. 24).

Инструктаж:

- вводный:

последовательность выполнения работы:

1. Анализ геометрической формы предмета;

2. Определение главного вида;

3. Компоновка на листе;

4. Построение чертежа (тонкими линиями);

5. Нанесение размеров конструктивных элементов детали с учетом их удобочитаемости и равномерным распределением по всем видам чертежа;

6. Нанесение габаритных размеров детали(длина, ширина и высота);

7. Проверка правильности и наличия всех достаточных для изготовления и контроля детали размеров;

8. Итоговое оформление чертежа (проверка соблюдения всех линий чертежа);

-текущий:

коррекция и исправление текущих ошибок учащихся в ходе выполнения практического задания;

-заключительный:

Посмотрите еще раз на доску и в свои тетради и сравните чертежи, все ли выполнено правильно?

Сейчас каждый из вас получит карточку с заданием, по которому мы будем работать. Я попрошу мне помочь ребят на первых партах их раздать.

В тетрадях открываем лист с рамкой и основной надписью и чертим перпендикулярно проекционные оси X,Y,Z.

Один человек выходит работать к доске(по желанию), чертит оси, обозначает их, обозначает основные плоскости проекции, указывает расположение видов и зарабатывает оценку.

(Оценивание ученика).

Посмотрите на карточки, которые вы получили и ответьте на вопросы.

Что принято понимать под термином вид?

Это изображение поверхности детали обращенной к наблюдателю.

Какой вид называется главным или видом спереди?

Это вид, который дает наиболее полное представление о форме предмета.

Посмотрите на наглядное изображение детали и попробуйте определить главный вид.

Действительно, этот вид можно взять за главный.

Где мы его расположим?

На фронтальной плоскости проекции.

Как и на прошлых уроках, чертеж начинаем строить с основных габаритных размеров, а затем уже выстраиваем конструктивные (мелкие) элементы.

Построили главный вид, проводим линии проекционной связи на горизонтальную и профильную плоскости проекции. Затем на горизонтальной плоскости проекции строим вид с верху. Для этого проводим горизонтальную линию параллельно оси Х. Не забудьте отступить от оси Х на расстояние 15 мм., так же как и на главном виде. Затем откладываем вниз 75 мм и проводим еще одну параллельную линию. От центральной линии проекционной связи (она же будет у нас осью симметрии) с низу откладываем 5 мм., и получаем вырез. А отложив 15 мм от нижнего края мы получим центровую точку окружности. Проведем оси симметрии и начертим окружность. Сверху на расстоянии 15 мм проведем горизонтальную линию. Вид сверху готов. Кто сможет достроить по двум видам вид слева и получить за это оценку?

(Ученик достраивает вид слева и получает оценку).

Очень важно показать на виде слева невидимые линии чертежа детали. Определить их место расположение очень легко, если провести все линии проекционной связи.

Как наносят размеры.

Для определения величины изображенного изделия или какой-либо его части по чертежу на нём наносят размеры.

Линейные размеры на чертежах указывают в миллиметрах, но обозначение единицы измерения не наносят. Общее количество размеров на чертеже должно быть наименьшим, но достаточным для изготовления и контроля изделия. Правила нанесения размеров установлены стандартом. Вот некоторые из них:

1. Размеры на чертежах указывают размерными числами и размерными линиями. Для этого сначала проводят выносные линии перпендикулярно отрезку, размер которого указывают затем на расстоянии 10 мм от контура детали проводят параллельную ему размерную линию. Размерная линия ограничивается с двух сторон стрелками. Длинна острия стрелки составляет 5 мм. Выносные линии выходят за концы стрелок размерной линии на 1 (1…5) мм. Выносные и размерные линии проводят сплошной тонкой линией. Над размерной линией, ближе к её середине, наносят размерное число.

2. Размерные линии наносят вне контура изображения, но допускается наносить их и внутри контура, если не нарушается удобочитаемость чертежа. Расстояние размерной линии от параллельной ей линии контура должно быть не менее 10 мм, а расстояние между параллельными размерными линиями должно быть в пределах 7... 10 мм. Необходимо избегать пересечения размерных и выносных линий. Первыми от контура располагаются размерные линии с меньшими числовыми значениями.

4.Для обозначения диаметра перед размерным числом наносят специальный знак - кружок, перечеркнутый линией. Если размерное число не умещается внутри окружности, его выносят за пределы окружности с помощью полки-выноски, при этом стрелки так же выносятся наружу, а их концы направляются к центру окружности.

При нанесении размеров на виды очень важно помнить о их равномерном распределении и удобочитаемости.

Аппарат проецирования

Аппарат проецирования (рис. 1) включает в себя три плоскости проекций:

π 1 – горизонтальная плоскость проекций;

π 2 – фронтальная плоскость проекций;

π 3 – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π 1 ^ π 2 ^ π 3 ), а их линии пересечения образуют оси:

Пересечение плоскостей π 1 и π 2 образуют ось 0Х (π 1 ∩ π 2 = 0Х );

Пересечение плоскостей π 1 и π 3 образуют ось 0Y (π 1 ∩ π 3 = 0Y );

Пересечение плоскостей π 2 и π 3 образуют ось 0Z (π 2 ∩ π 3 = 0Z ).

Точка пересечения осей (ОХ∩OY∩OZ=0), считается точкой начала отсчета (точка 0).

Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат.

Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 1 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I -ом октанте.

Проецирование ортогональное с центрами проецирования S 1 , S 2 и S 3 соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций.

А .

Из центров проецирования S 1 , S 2 и S 3 выходят проецирующие лучи l 1 , l 2 и l 3 А

- А 1 А ;

- А 2 – фронтальная проекция точки А ;

- А 3 – профильная проекция точки А .

Точка в пространстве характеризуется своими координатами A (x,y,z ). Точки A x , A y и A z соответственно на осях 0X , 0Y и 0Z показывают координаты x, y и z точки А . На рис. 1 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.

Эпюр точки

Чтобы получить эпюр точки А (рис. 2), в аппарате проецирования (рис. 1) плоскость π 1 А 1 0Х π 2 . Затем плоскость π 3 с проекцией точки А 3 , вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z , до совмещения её с плоскостью π 2 . Направление поворотов плоскостей π 2 и π 3 показано на рис. 1 стрелками. При этом прямые А 1 А х и А 2 А х 0Х перпендикуляре А 1 А 2 , а прямые А 2 А х и А 3 А х станут располагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А 2 А 3 . Эти прямые в дальнейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.

Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.

А (x A , y A , z A x A , y A и z A в следующей последовательности (рис. 2). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.

1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.

2. На оси OX x A точки А и получают положение точки А х .

3. Через точку А х перпендикулярно оси OX

А х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А А 1 на эпюре.

А х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z A точки А А 2 на эпюре.

6. Через точку А 2 параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А z .

7. На горизонтальной линии связи от точки А z по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А и определяется положение профильной проекции точки А 3 на эпюре.

Характеристика точек

Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.

Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проецирования, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерными признаками точек частного положения являются:

Метаматематический – одна, две или все численные значения координат равны нулю и (или) бесконечности;

На эпюре – две или все проекции точки располагаются на осях и (или) располагаются в бесконечности.

Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка А на рис. 1 и 2.

В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскости π 3 ; координата y от плоскости π 2 ; координата z от плоскости π 1 . Следует отметить, что знаки при численных значениях координат указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится.

Метод двух изображений

На практике, кроме метода полного проецирования используют метод двух изображений. Он отличается тем, что в этом методе исключается третья проекция объекта. Для получения аппарата проецирования метода двух изображений из аппарата полного проецирования исключается профильная плоскость проекций с ее центром проецирования (рис. 3). Кроме того, на оси 0Х назначается начало отсчета (точка 0 ) и из него перпендикулярно оси 0Х в плоскостях проекций π 1 и π 2 проводят оси 0Y и 0Z соответственно.

В этом аппарате все пространство делится на четыре квадранта. На рис. 3 они обозначены римскими цыфрами.

Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I -ом квадранте.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А .

Из центров проецирования S 1 и S 2 выходят проецирующие лучи l 1 и l 2 . Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

- А 1 – горизонтальная проекция точки А ;

- А 2 – фронтальная проекция точки А .

Чтобы получить эпюр точки А (рис. 4), в аппарате проецирования (рис. 3) плоскость π 1 с полученной проекцией точки А 1 вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х , до совмещения её с плоскостью π 2 . Направление поворота плоскости π 1 показана на рис. 3 стрелками. При этом на эпюре точки полученной методом двух изображений остается только одна вертикальная линия связи А 1 А 2 .

На практике построение эпюра точки А (x A , y A , z A ) осуществляется по численным значениям ее координат x A , y A и z A в следующей последовательности (рис. 4).

1. Вычерчивается ось OX и назначается начало отсчета (точка 0 ).

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x A точки А и получают положение точки А х .

3. Через точку А х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А 1 OY не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются ниже оси OX , а отрицательные выше.

5. На вертикальной линии связи от точки А х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А 2 на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OZ не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются выше оси OX , а отрицательные ниже.

Конкурирующие точки

Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Они в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию, т.е. их проекции тождественно совпадают. Характерным признаком конкурирующих точек на эпюре является тождественное совпадение их одноименных проекций. Конкуренция заключается в видимости этих проекций относительно наблюдателя. Говоря другими словами, в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая – нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, а проекция другой точки – невидима.

На пространственной модели проецирования (рис. 5) из двух конкурирующих точек А и В видима точка А по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке S 1 →А→В точка А ближе к наблюдателю, чем точка В . И, соответственно, – дальше от плоскости проекций π 1 (т.е. z A > z A ).

Рис. 5 Рис.6

Если видима сама точка A , то видима и её проекция A 1 . По отношению к совпадающей с ней проекцией B 1 . Для наглядности и при необходимости на эпюре невидимые проекции точек принято заключать в скобки.

Уберем на модели точки А и В . Останутся их совпадающие проекции на плоскости π 1 и раздельные проекции – на π 2 . Условно оставим и фронтальную проекцию наблюдателя (⇩), находящегося в центре проецирования S 1 . Тогда по цепочке изображений ⇩ → A 2 → B 2 можно будет судить о том, что z A > z B и что видима и сама точка А и её проекция А 1 .

Аналогично рассмотрим конкурирующие точки С и D по видимости относительно плоскости π 2 . Поскольку общий проецирующий луч этих точек l 2 параллелен оси 0Y , то признак видимости конкурирующих точек С и D определяется неравенством y C > y D . Следовательно, что точка D закрыта точкой С и соответственно проекция точки D 2 будет закрыта проекцией точки С 2 на плоскости π 2 .

Рассмотрим, как определяется видимость конкурирующих точек на комплексном чертеже (рис. 6).

Судя по совпадающим проекциям А 1 ≡В 1 сами точки А и В находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси 0Z . Значит сравнению подлежат координаты z A и z B этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае z A > z B . Из этого следует, что видима проекция А 1 .

Точки C и D на рассматриваемом комплексном чертеже (рис. 6) так же находятся на одном проецирующем луче, но только параллельном оси 0Y . Поэтому из сравнения y C > y D делаем вывод, что видима проекция С 2 .

Общее правило . Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.